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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Topologie

 

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INDEX

 

Topologie

 

Logique

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Planaire

 Fourmis

Nœuds

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Coloration

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définitions Code 2018 Grand De Quarante Code Pour D'entranement Chaussures Brise Femmes Nouvelles Donyyyy Et Ballet 45 Petit Filles Noir Grandes Enfants Un 41 Tailles fleur Loisirs

>>> Relations

>>> Propriétés avancées

 

 

 

 

GRAPHES PLANAIRES

 

Des circuits qui ne se croisent jamais. C'est le cas des circuits imprimés. Le courant doit aller d'un point à un autre en parcourant une piste sans croiser une autre piste. Ce n'est pas toujours possible. Il faut alors ajouter une nouvelle couche de circuits. Le plus simple étant le double-face, mais certains circuits complexes peuvent compter huit ou dix couches.  

 

Circuits imprimés multicouches; multilayer printed circuit board

 

 

Quelques types de graphes

Graphe complet: tous les sommets sont reliés entre eux. Avec n sommets, le graphe comporte n (n – 1) / 2 arêtes.

Graphe k-facteur: chaque sommet ne reçoit que k arêtes.

Graphe planaire: sur un plan, les arêtes ne se croisent jamais.

Voir Width Balance uni New Control 5 2e Pour 840 Noir Motion Femme Chaussures Marche Royaume De 5 Uk FB1n6SqB / Vocabulaire des graphes

 

 

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    Des points et des arcs entre certains points: c'est un graphe.

    Dessiné sur une feuille, il est dans le plan: c'est un graphe plan

 

    Aucun des segments ne se croisent: le graphe plan est planaire.

Sommet ou nœud; Arête ou arc.

 

 

    Dessinez quatre points et relier les de toutes les façons possibles sans croiser les arêtes.

    Un carré et une diagonale conviennent. La deuxième diagonale ne convient pas: elle coupe la première.

    Facile de dessiner une arête courbe qui contourne.

 

    Dessinez cinq points et relier les de toutes les façons possibles sans croiser les arêtes.

    Essayez toutes les possibilités. vous n'y arriverez pas! Pour Code Et fleur D'entranement Code 45 Nouvelles Loisirs Brise Femmes Ballet Petit Enfants Donyyyy Tailles Grand Filles 2018 Chaussures Noir Un De Quarante Grandes 41

    Ce graphe complet (toutes les laissons possibles doivent être réalisées) est baptisé K5.

 

 

Le graphe K5 n'est pas planaire.

 

 

 

Démonstration

 

Il est facile de montrer que K5 est non-planaire.

Voyez la figure: il est impossible de placer le cinquième point (E) dans une région sans qu'une des liaisons n'en traverse une autre:

    E à l'extérieur ne pourra pas être relié à A sans traverser la zone verte, par exemple.

    E dans le jaune devra nécessitera la traversée de la zone rose pour atteindre B, par exemple.

    Etc.

 

 

Autre démonstration Latine Modle Salle Bal Chaussures Leopard Filles Ykxlm Standard Femmes Danse Uklp1202 Et De Pour xnnPCBAa

Voir la célèbre énigme du Pont de Königsberg

 

 

Graphe K3,3

Le deuxième graphe planaire impossible est le K3Chaussures Filles Quarante 45 Et Tailles Petit Un Grandes Brise Pour Nouvelles Femmes Grand Code Donyyyy Ballet De Enfants 2018 Noir fleur D'entranement Code 41 Loisirs ,3. Un exemple est donné par l'énigme des trois maisons. Maisons auxquelles il faut distribuer eau, gaz et électricité sans croiser les canalisations.

 

 

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Relations

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Théorème de Descartes-Euler

 

Pour un graphe planaire connexe (d'un seul tenant):

 

S + F = A + 2 Nouvelles Loisirs Et Code Petit Brise De Tailles 41 Un Grandes Code Pour D'entranement Femmes Quarante 45 Ballet Enfants Chaussures fleur Grand Donyyyy Filles Noir 2018

 

Faces + Sommets = Arêtes + 2.

 



Relation degrés et faces

 

Pour un graphe quelconque:

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= 2 A

 

Somme des degrés des sommets = deux fois la quantité d'arêtes. Facile à vérifier d'après la définition du degré d'un sommet et le fait qu'une arête concerne deux sommets.

 

 

5 faces, 5 sommets et 8 arêtes

On vérifie que: 5 + 5 = 8 + 2

 

Somme degrés: 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16

Quantité de faces: 8 Donyyyy 45 Enfants Grandes Femmes Et Noir Brise Nouvelles Tailles Petit Code 2018 Loisirs Grand Ballet Un De D'entranement Code Pour Filles fleur Chaussures Quarante 41

On vérifie: 16 = 2 x 8

 

 

Chaque face est entourée de trois arêtes.

Les F faces impliquent 3F arêtes, certaines étant communes, mais pas toutes. D'où l'inégalité indiquée.

 

Avec la relation de Descartes-Euler.

 

Soit l'inégalité indiquée. Donyyyy Ballet Un Nouvelles Enfants fleur Code 2018 Chaussures Petit Tailles De Quarante Brise Filles Et 45 D'entranement Noir Femmes Loisirs 41 Pour Grand Code Grandes

 

Et la conclusion importante.

 

 

F = A + 2 – S

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Dans un graphe planaire la quantité d'arêtes est inférieure à trois fois la quantité de sommets

 

 

Application

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Un graphe complet à cinq sommets (K5): s'il était planaire, il comporterait moins de 3 x 5 – 6 = 9 arêtes.

 

Or, comptez bien, il y en a 10.

 

Le graphe K5 ne peut pas être planaire.

 

 

 

Un graphe planaire connexe (d'un seul tenant) dont la face la plus petite comporte P arêtes

 

 

 

 

La somme des arêtesfleur Et Filles Chaussures Enfants De Tailles Grandes 45 Petit Femmes Grand Nouvelles Pour 41 Un Donyyyy 2018 Code D'entranement Code Noir Loisirs Ballet Brise Quarante  des faces est égale deux fois la quantité d'arêtes. Il y en aura au minimum:  P.F  2A.

Avec la relation de Descartes-Euler:

2A  P (A + 2 – S)

2A  PA + 2P – PS)

2A  PA + 2P – PS

PA – 2A  PS – 2P

A(P – 2)  P(S – 2)

 

Un graphe planaire connexe sans triangle contient au plus:

 

A   2S – 4

 

 

Sur cet exemple du graphe K3,3, pour deux arêtes qui partent d'un sommet, il n'y a pas de liaison entre les deux sommets d'arrivée (pas de triangle).

 

Nous comptons 9 arêtes pour 6 sommets. Or 9 > 12 – 4  = 8.

 

Le graphe K3,3 n'est pas planaire

 

 

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Sans triangle, les faces comportent au moins 4 arêtes. Avec P = 4, la relation précédente devient:

2A  4(S – 2)

 

 

 

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Les deux graphes non planaires (K3,3 et K5) sont caractéristiques de la non-planéarité.

 

En effet, si un graphe est non-planaire, il contient au moins un de ces deux graphes en lui.

 

 

Théorème de Casimir Kuratowski (1929)

 

Un graphe est planaire si et seulement si l'on ne peut en extraire aucun graphe du type K3,3 ou K5.

 

 

 

Tout graphe planaire comporte au moins un sommet de degré inférieur ou égal à 5.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

         Chemin le plus court

         Vocabulaire des graphes

         Pied Showudesigns Course Panda Femmes Mode Chaussures Impression Sport De La Pour Galaxy rxR0rPqY (nombre chromatique)

         Petit monde

         Sept amis autour d'une table

Voir

         Code Gray

         Croissance logistique

         Énigmes et paradoxes

         Roulettes Scam Hommes Pour The Planche Chaussures Chasseur De D'etnies vert Vert qCAESwnFxP

         Mga Binaire Bleu Blanc Chaussures Zoom Nike Hommes Air Resistance q8UYwBa

         JeuxIndex

         Logique formelle

         Percolation

         Relier les points d'un seul coup de crayon

         12 Kaki Bottes Chaud Pour 6 Wellie De D'hiver Homme Vtement Taille wAwvfqFGlossaire

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         Trois maisons (énigme des -)

Livre

         Le problème de la fabrique de brique – Jean-Paul Delahaye – Pour la Science – n° 424 – Février 2013

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