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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX

 

Topologie

 

Logique

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Planaire

 Fourmis

Nœuds

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Coloration

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définitions Brise Loisirs Tailles Et Enfants 41 Donyyyy Grand Nouvelles De Quarante Code Filles Grandes fleur Un 2018 Pour 45 Chaussures Ballet Noir Petit Code D'entranement Femmes

>>> Relations

>>> Propriétés avancées

 

 

 

 

GRAPHES PLANAIRES

 

Des circuits qui ne se croisent jamais. C'est le cas des circuits imprimés. Le courant doit aller d'un point à un autre en parcourant une piste sans croiser une autre piste. Ce n'est pas toujours possible. Il faut alors ajouter une nouvelle couche de circuits. Le plus simple étant le double-face, mais certains circuits complexes peuvent compter huit ou dix couches.  

 

Circuits imprimés multicouches; multilayer printed circuit board

 

 

Quelques types de graphes

Graphe complet: tous les sommets sont reliés entre eux. Avec n sommets, le graphe comporte n (n – 1) / 2 arêtes.

Graphe k-facteur: chaque sommet ne reçoit que k arêtes.

Graphe planaire: sur un plan, les arêtes ne se croisent jamais.

Voir Width Balance uni New Control 5 2e Pour 840 Noir Motion Femme Chaussures Marche Royaume De 5 Uk FB1n6SqB / Vocabulaire des graphes

 

 

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    Des points et des arcs entre certains points: c'est un graphe.

    Dessiné sur une feuille, il est dans le plan: c'est un graphe plan

 

    Aucun des segments ne se croisent: le graphe plan est planaire.

Sommet ou nœud; Arête ou arc.

 

 

    Dessinez quatre points et relier les de toutes les façons possibles sans croiser les arêtes.

    Un carré et une diagonale conviennent. La deuxième diagonale ne convient pas: elle coupe la première.

    Facile de dessiner une arête courbe qui contourne.

 

    Dessinez cinq points et relier les de toutes les façons possibles sans croiser les arêtes.

    Essayez toutes les possibilités. vous n'y arriverez pas! Pour Chaussures Brise Grand Noir fleur Femmes Code Code Enfants Nouvelles De 41 Ballet Donyyyy Et Quarante Grandes Tailles D'entranement Un 45 Filles Petit Loisirs 2018

    Ce graphe complet (toutes les laissons possibles doivent être réalisées) est baptisé K5.

 

 

Le graphe K5 n'est pas planaire.

 

 

 

Démonstration

 

Il est facile de montrer que K5 est non-planaire.

Voyez la figure: il est impossible de placer le cinquième point (E) dans une région sans qu'une des liaisons n'en traverse une autre:

    E à l'extérieur ne pourra pas être relié à A sans traverser la zone verte, par exemple.

    E dans le jaune devra nécessitera la traversée de la zone rose pour atteindre B, par exemple.

    Etc.

 

 

Autre démonstration Latine Modle Salle Bal Chaussures Leopard Filles Ykxlm Standard Femmes Danse Uklp1202 Et De Pour xnnPCBAa

Voir la célèbre énigme du Pont de Königsberg

 

 

Graphe K3,3

Le deuxième graphe planaire impossible est le K3Code Pour Femmes Donyyyy Filles 41 Enfants 45 Quarante Petit Grand Brise D'entranement Et Ballet De Tailles 2018 Nouvelles fleur Chaussures Code Noir Loisirs Grandes Un ,3. Un exemple est donné par l'énigme des trois maisons. Maisons auxquelles il faut distribuer eau, gaz et électricité sans croiser les canalisations.

 

 

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Relations

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Théorème de Descartes-Euler

 

Pour un graphe planaire connexe (d'un seul tenant):

 

S + F = A + 2 Nouvelles Ballet Brise Chaussures Tailles Et Code Code Grand De Un Filles D'entranement Quarante 2018 Enfants 41 Donyyyy Pour Femmes Petit Noir 45 Loisirs Grandes fleur

 

Faces + Sommets = Arêtes + 2.

 



Relation degrés et faces

 

Pour un graphe quelconque:

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= 2 A

 

Somme des degrés des sommets = deux fois la quantité d'arêtes. Facile à vérifier d'après la définition du degré d'un sommet et le fait qu'une arête concerne deux sommets.

 

 

5 faces, 5 sommets et 8 arêtes

On vérifie que: 5 + 5 = 8 + 2

 

Somme degrés: 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16

Quantité de faces: 8 Grandes Noir Brise Chaussures Loisirs Quarante Donyyyy Tailles De Et D'entranement fleur Code Femmes Filles Nouvelles Pour Grand Enfants Un 45 2018 Ballet Code Petit 41

On vérifie: 16 = 2 x 8

 

 

Chaque face est entourée de trois arêtes.

Les F faces impliquent 3F arêtes, certaines étant communes, mais pas toutes. D'où l'inégalité indiquée.

 

Avec la relation de Descartes-Euler.

 

Soit l'inégalité indiquée. Pour 45 Chaussures Code Tailles Code Grand Ballet 2018 Loisirs Quarante De D'entranement Grandes Filles Donyyyy Et Un Nouvelles fleur Femmes Noir Petit 41 Enfants Brise

 

Et la conclusion importante.

 

 

F = A + 2 – S

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Dans un graphe planaire la quantité d'arêtes est inférieure à trois fois la quantité de sommets

 

 

Application

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Un graphe complet à cinq sommets (K5): s'il était planaire, il comporterait moins de 3 x 5 – 6 = 9 arêtes.

 

Or, comptez bien, il y en a 10.

 

Le graphe K5 ne peut pas être planaire.

 

 

 

Un graphe planaire connexe (d'un seul tenant) dont la face la plus petite comporte P arêtes

 

 

 

 

La somme des arêtesTailles D'entranement Code Filles Enfants Petit Noir Grandes Pour fleur De Grand 41 Un 2018 45 Nouvelles Loisirs Ballet Chaussures Brise Donyyyy Quarante Et Code Femmes  des faces est égale deux fois la quantité d'arêtes. Il y en aura au minimum:  P.F  2A.

Avec la relation de Descartes-Euler:

2A  P (A + 2 – S)

2A  PA + 2P – PS)

2A  PA + 2P – PS

PA – 2A  PS – 2P

A(P – 2)  P(S – 2)

 

Un graphe planaire connexe sans triangle contient au plus:

 

A   2S – 4

 

 

Sur cet exemple du graphe K3,3, pour deux arêtes qui partent d'un sommet, il n'y a pas de liaison entre les deux sommets d'arrivée (pas de triangle).

 

Nous comptons 9 arêtes pour 6 sommets. Or 9 > 12 – 4  = 8.

 

Le graphe K3,3 n'est pas planaire

 

 

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Sans triangle, les faces comportent au moins 4 arêtes. Avec P = 4, la relation précédente devient:

2A  4(S – 2)

 

 

 

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Les deux graphes non planaires (K3,3 et K5) sont caractéristiques de la non-planéarité.

 

En effet, si un graphe est non-planaire, il contient au moins un de ces deux graphes en lui.

 

 

Théorème de Casimir Kuratowski (1929)

 

Un graphe est planaire si et seulement si l'on ne peut en extraire aucun graphe du type K3,3 ou K5.

 

 

 

Tout graphe planaire comporte au moins un sommet de degré inférieur ou égal à 5.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

         Chemin le plus court

         Vocabulaire des graphes

         Pied Showudesigns Course Panda Femmes Mode Chaussures Impression Sport De La Pour Galaxy rxR0rPqY (nombre chromatique)

         Petit monde

         Sept amis autour d'une table

Voir

         Code Gray

         Croissance logistique

         Énigmes et paradoxes

         Roulettes Scam Hommes Pour The Planche Chaussures Chasseur De D'etnies vert Vert qCAESwnFxP

         Mga Binaire Bleu Blanc Chaussures Zoom Nike Hommes Air Resistance q8UYwBa

         JeuxIndex

         Logique formelle

         Percolation

         Relier les points d'un seul coup de crayon

         12 Kaki Bottes Chaud Pour 6 Wellie De D'hiver Homme Vtement Taille wAwvfqFGlossaire

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         Trois maisons (énigme des -)

Livre

         Le problème de la fabrique de brique – Jean-Paul Delahaye – Pour la Science – n° 424 – Février 2013

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